De site over het instrument alpenhoorn
Natuurkundige achtergronden
 
Trillingsleer: pijpen en frequenties
 
 
4 natuurkundige modellen
 
Als we dieper in willen gaan op de theoretische achtergronden van luchttrillingen in pijpen (buizen), dan komen we terecht bij 4 natuurkundige modellen die volledig beschreven zijn.
 
 
 
Nauwkeuriger: v = 331(1 + t / 273) ½ m per sec bij to Celsius.
t = 15: v = 340,0 
t = 20: v = 342,9

Natuurkundige verklaring
Is vrij elementair. Benodigde natuurkunde: vwo-niveau. Berust op het bestuderen van de zgn. knopen en buiken in een trillende luchtkolom.


Natuurkundige verklaring
Ook elementair. Net als de vorige gebaseerd op het bestuderen van de knopen en buiken in de trillende luchtkolom. 


We zien dus dat bij een gesloten cylindrische pijp de frequentie van de grondtoon de helft is van de frequentie van de grondtoon van de open cylindrische pijp. De grondtoon van een gesloten cylindrische pijp is dus een octaaf lager dan de grondtoon van een even lange open cylindrische pijp!


 

Natuurkundige verklaring
Bovenstaande wetmatigheid is in tegenstelling tot de voorgaande twee bepaald niet elementair te bewijzen! Het bewijs ligt op het niveau van universitaire wis- en natuurkunde.
Geïnteresseerden worden verwezen naar de wetenschappelijke vakliteratuur op dit gebied. Verwijzingen: zie verderop.
 
We zien hier de opvallende uitkomst dat een open cylindrische pijp en een zuiver konische pijp van gelijke lengte dezelfde frequenties opleveren!


 

Voorwaarde
Het ontbrekende (puntvormige) deel van de konus mag niet kort zijn, want dan eindigt de konus nagenoeg op een punt en is model 3 toepasbaar.
Exacter: de afstand van de aanblaaskant tot de niet-aanwezige punt mag niet klein zijn.
Voor deze afstand a geldt de elementaire formule a = d1L /(d2-d1).


Natuurkundige verklaring 
Het bewijs van deze formule is niet elementair, net als bij model 3. Ook hierbij moet verwezen worden naar de wetenschappelijke vakliteratuur.

Bijzonder geval

d1 = d2

De pijp is dan gesloten cylindrisch (model 2).
De 2e formule van Fletcher gaat dan over in:
 
fn  = 2(n- ½) c / 4L' = (2n-1) c / 4L' met L' = L + 0,3 d2
 
Dit zijn juist de frequenties van model 2, met de lengte L vervangen door de akoestische lengte L'.
 
Akoestische lengte
De eindcorrectie 0,3 d2 wordt in het algemeen ook toegepast in model 2 en model 3.
 
De relatie tussen model 2, model 3 en model 4
Het is duidelijk dat er een meetkundige overgang model 2 à model 4 à model 3 is.
De corresponderende frequenties nemen, op een enkele uitzondering na, toe bij de overgang van links naar rechts. 
Het is echter niet zo dat kleine waarden van d1 per definitie moeten leiden tot toepassing van model 3. Bij kleine waarden van d1 hoeft de waarde van a nog niet klein te zijn.
Het komt nogmaals samengevat hierop neer:
 
Als a, met a = d1L / (d2-d1), klein is, dan geldt model 3 en niet model 4. 
De konus is dan volledig (met punt) of er "ontbreekt" slechts een klein stukje punt.
 
Als a niet klein is, dan geldt model 4 en niet model 3. 
Het "ontbrekende" stuk van de konus is dan langer. 
 
Bijzonder geval: 
Als a heel groot wordt, dan gaat de afgeknotte konus in een cylinder over en gaat model 4 in model 2 over. 
 
 
Model 2, 3 en 4 zijn relevant voor hoorns die aangeblazen worden m.b.v. liptrilling. In dat geval betreft het een pijp die aan één kant (de blaaskant) als gesloten te beschouwen is. Dit blijkt niet alleen experimenteel, maar is met enige moeite natuurkundig ook wel in te zien.
 
Model 1 is relevant voor fluitachtige instrumenten.Deze instrumenten blijven hier echter buiten beschouwing.
 
 
© 2007  J. de Ruiter